Geometría - poMonografia - Cleavers and Spliters 2007/2008

  1. Resumo
  2. Introdução
  3. Teorema de Arquimedes ou Teorema da corda quebrada
  4. Cleavers
  5. O triângulo médio
  6. Centro de massa de um sistema
  7. A Circunferência de Spieker
  8. Spliters
  9. O Ponto de Nagel ou Centro Splitting
  10. A circunferência dos nove pontos
  11. Recta de Euler
  12. O ponto de Nagel e a circunferência Spieker
  13. Breves noções sobre dilatações
  14. Propriedades adicionais
  15. Resolução de exercícios
  16. Bibliografia

Resumo

"O objectivo deste

trabalho é divulgar alguns resultados recentes, elegantes e pouco divulgados sobre geometria euclidiana, que apesar da sua já longa história continua ainda a revelar-se uma fonte inesgotável de investigação. Basta ler algumas das propriedades apresentadas para perceber que com um pouco de criatividade e astúcia é possível criar resultados admiráveis".

  1. Introdução

    2. A geometria, nomeadamente a geometria euclidiana continua a dar que falar e a fazer com que inúmeros matemáticos espalhados pelo mundo se continuem a deslumbrar com os seus encantos. Com base nesta ideia, o professor Rui Pacheco propôs-me a realização deste trabalho, baseado no livro "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Eulidean Geometry" de Ross Honsberger.

    Temos como objectivo divulgar alguns resultados recentes, elegantes e pouco divulgados sobre geometria euclidiana, que apesar da sua já longa história continua ainda a revelar-se uma fonte inesgotável de investigação. Basta ler algumas das propriedades apresentadas para perceber que com um pouco de criatividade e astúcia é possível criar resultados admiráveis.

    Este trabalho encontra-se dividido em duas partes. Numa primeira parte abordamos de forma pormenorizada o 1º capítulo (Cleavers and Splitters) do livro referido. Elaboramos as demonstrações apresentadas no livro, explicando com detalhe algumas passagens omissas no mesmo. Nem sempre se seguiu a mesma metodologia do autor, de qualquer modo o essencial foi sempre preservado. Na segunda parte deste trabalho apresentamos a nossa resolução de alguns exercícios propostos pelo autor.

  2. Teorema de Arquimedes ou Teorema da corda quebrada

    3. Teorema 1: Sendo M o ponto médio do arco ACB no semi-circulo ABC, e sendo MD perpendicular ao maior dos lados entre AC e BC, (no nosso exemplo AC). Então D divide ao meio o caminho poligonal ACB, ou seja,

    Figura 1

    Figura 2

    Demonstração: Comecemos por prolongar AC até F, de modo que . Assim, o triângulo CFB é isósceles (pois tem dois lados iguais). Sendo assim, os ângulos da base são iguais a . Logo , porque . Tracemos agora a circunferência que passa pelos pontos A, B e F, ou seja, a circunferência circunscrita ao triângulo ABF, a que vamos chamar . Esta circunferência terá o seu centro na intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo ABF, isto é, algures na recta MH, sendo MH a mediatriz do lado AB (ver figura 2). Ora pelo Teorema do arco capaz ( ) concluímos que o centro da circunferência que passa pelos pontos A, B e F só pode ser o ponto M, vejamos que M pertence à mediatriz do lado AB e o arco AB subtende um ângulo que é duas vezes o ângulo subtendido AFB, ou seja, e sendo o arco AB o arco subtendido pelos dois ângulos, logo nestas condições a única conclusão que podemos tirar é que M é o centro da circunferência . Assim, em , MD é perpendicular desde o centro de até à corda AF, isto é, MD é apótema () da corda AB. Como numa circunferência, a perpendicular baixada do centro para uma corda divide-a ao meio, assim como os arcos que ela subtende, vemos que o ponto D é o ponto médio da corda AF e daí resulta que: . Então , e como, , temos que: , o que completa a demonstração.

  3. Cleavers


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